Números complejos

Partes de los números complejos

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota �=Re(�) $a={\text{Re}}(z)$ ; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota �=Im(�) $b={\text{Im}}(z)$ . Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

Igualdad

(�,�)=(�,�)⟺�=�∧�=� $(a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d$

Al número (�,0) $(a,0)$ se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo (0,�) $(0,b)$ se denomina número imaginario puro. Puesto que (�,0)+(0,�)=(�,�) $(a,0) + (0,b) = (a, b)$ se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.¹⁰

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en ingeniería), llamado unidad imaginaria, definido comoi=(0,1) ${\mathrm {i}}=(0,1)\,\!$

Que satisface la siguiente igualdad:i2=i⋅i=(0,1)⋅(0,1)=(−1,0)=−1 ${\mathrm {i}}^{2}={\mathrm {i}}\cdot {\mathrm {i}}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1$

El afijo de un número complejo es el punto que se le hace corresponder en el plano complejo. Así, el afijo del número complejo z=a+bi es el punto P(a,b).

Representación binómica[editar]

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; �+�� $a+bi$ es la expresión *binomial* del punto.

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; �+�� $a+bi$ es la expresión *binomial* del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:�=�+�� $z=a+bi\,$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:�=Re(�)=ℜ(�) $a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)$ �=Im(�)=ℑ(�) $b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)$

Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; �(cos⁡�+�sin⁡�) $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ o �� $re^{{i\phi }}$ es la expresión *polar* del punto.

En esta representación, � $\textstyle {r}$ es el módulo del número complejo y el ángulo � $\textstyle {\phi }$ es el argumento del número complejo.�=arctan⁡(��)=arctan⁡(Im(�)Re(�))=−arctan⁡(−Im(�)Re(�)) $\textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)$ cos⁡�=�� , sin⁡�=�� $\cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}$

Despejándose a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial, resulta:�=�+i�;�=�cos⁡�+i�sen⁡� $z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\operatorname {sen} {\phi }$

Sacando factor común r:�=�(cos⁡�+isin⁡�) $z=r\left(\cos {\phi }+{\mathrm {i}}\sin {\phi }\right)$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera: �=�cis� $\ z=r\;\operatorname {cis}\;{\phi }$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler:cos⁡�+�sen⁡�=�i�;�=�� $\cos {\phi }+i\operatorname {sen} {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }$

En notación angular, a menudo usada en Electrotecnia se representa al fasor de módulo � $r$ y argumento � $\phi$ como:�=�∠�. $z=r\angle \phi .$

No obstante, el ángulo � $\phi$ no está unívocamente determinado por z, pues pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros �∈� $k\in {\mathbb {Z}}$ , como implica la fórmula de Euler:∀�∈��=��i(�+2��) $\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \quad z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, generalmente � $\phi$ está restringido al intervalo [-π, π) y a este � $\phi$ restringido se le llama argumento principal de z y se denota φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas están unívocamente determinadas por z.

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Tipos de expresión de un número complejo:

Forma binómica
Forma polar
Forma de matrices en orden 2

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

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Los números Complejos

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