ESTADÍSTICA UD02: Estimación – Muestreo Estadístico, parte 2

Teorema central del límite

Los fenómenos se ajustan a la distribución normal, esto es conocido como teorema central del límite (enunciado por el matemático Pierre Simon Laplace, y demostrado por el Alesksandr Mikhailovich Lyapunov).

Teorema Central del Límite: si X es una variable aleatoria de una población media finita y desviación típica finita, la distribución de la media muestral de tamaño n tiene de media μ y desviación típica σ/√n . Conforme crece el tamaño de la muestra, se aproxima a una distribución normal.

Si la población de partida es normal, la distribución de las medias muestrales es normal.

Si la población de partida no es normal, la distribución de la media muestral se aproxima a una normal cuando el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.

Aquí te dejamo un vídeo explicativo del Teorema Central del Límite para afianzarlo:

Distribución de la media muestral

Se selecciona una muestra de la población, se calcula su media y desviación típica.
Se eligen otras muestras de la misma población, de cada una, se obtiene su media y desviación típica.
Las diferentes medias dan lugar a una variable aleatoria.

Según el Teorema Central del Límite:

• La media de la variable aleatoria es la población media.
• La desviación típica de la variable aleatoria es σ/√n, donde σ es la desviación típica poblacional, y n, el tamaño de las muestras.
• Para valores de n, tales que n≥30, la distribución de la variable aleatoria se aproxima a una normal: N(μ,σ/√n).

Esta afirmación es cierta, sea cual sea la distribución de la población.

Aquí te dejamos algunas actividades:

• Ejercicio explicado
• Ejercicios resueltos

Distribución de una proporción muestral

Para saber cómo se distribuye la proporción muestral, se tiene en cuenta la distribución binomial, en la que las únicas posibilidades eran: “éxito” o “no éxito”.

Cada muestra que se obtiene de tamaño n , se distribuye según la distribución binomial B(1,p) – según el principio de reproductividad de la distribución, la suma de n variables B(1,p), es una binomial B(n,p).

Gracias al Teorema Central del Límite, afirmamos que la distribución de la proporción muestral:

• Media: μ=p
• Desviación Típica: σ=√(p(1-p))/n

Conforme n crece, la distribución de la proporción muestral se aproxima a una normal N(p,√(p(1-p))/n); siempre y cuando p no tome valores próximos a 0 o 1.

Finalmente, aquí tienes un archivo con ejercicios para practicar: