Regresión lineal fascinante: chisme 98 del Lince

Jueves por la mañana en Sierra Bermeja. El Lince de la Noche tiene una libreta llena de números: las horas de estudio de sus compañeros y la nota de cada uno. «Está claro», dice. «Cuanto más estudian, más nota sacan».

La Gata Montesa ni levanta la vista del portátil. «Eso lo dices tú. ¿Cuánta nota gana alguien por cada hora más de estudio?».

El Lince se queda pensando. «¿La mitad de un punto?».

«Eso no es una respuesta, es una corazonada. Vamos a calcularlo».

Introducción

En este chisme dibujamos la recta que mejor resume la relación entre dos números: las horas de estudio y la nota. Esa recta se llama regresión lineal, y es una de las herramientas más sencillas para aprender de los datos.

Puedes probarla tú mismo en el simulador del chisme 98: tiene 40 alumnos simulados y deslizadores para mover la recta.

Por qué este chisme

Muchas decisiones se apoyan en relaciones entre números: cuánto crece una planta según la luz, cuánto gasta un coche según su peso o cuánta nota sacan los alumnos según sus horas de estudio.

Una recta bien calculada permite predecir un valor a partir de otro. Pero una recta también puede engañar. Si no sabemos cómo se calcula, no sabemos cuánto confiar en ella. Por eso aquí no solo la dibujamos: la calculamos paso a paso.

Cómo funciona

La recta buena tiene dos números: la pendiente (cuánto sube la nota por cada hora) y la ordenada (la nota que predice con cero horas). Para calcularlos hacen falta tres ideas matemáticas.

1. El punto de las medias. La recta siempre pasa por el punto formado por la media de las horas, x̄, y la media de las notas, ȳ:

x̄ = (suma de todas las horas) / n    ȳ = (suma de todas las notas) / n

donde n es el número de alumnos (40).

2. Cuánto se mueven juntas las dos variables. Para cada alumno medimos su desviación respecto a la media en cada variable: (xᵢ − x̄) y (yᵢ − ȳ). Si los que estudian más sacan más nota, estas desviaciones tienden a tener el mismo signo. Lo medimos con dos sumas:

• Sxy = suma de (xᵢ − x̄)·(yᵢ − ȳ)
• Sxx = suma de (xᵢ − x̄)²

3. La pendiente y la ordenada. La pendiente es la proporción entre ambas cantidades, y la ordenada sale del punto de las medias:

b = Sxy / Sxx    a = ȳ − b·x̄

La recta es ŷ = a + b·x. El gorro de ŷ indica que es una predicción, no una nota real.

¿Por qué esta fórmula? Buscamos la recta que haga mínima la suma de los errores al cuadrado, Σ(yᵢ − a − b·xᵢ)². Si derivamos esa expresión respecto a a y a b e igualamos a cero, salen exactamente estas dos fórmulas. Elevar al cuadrado castiga más los errores grandes y evita que los positivos y negativos se cancelen.

La fuerza de la relación. El coeficiente de correlación r = Sxy / √(Sxx · Syy) va de −1 a 1. Cerca de 0, casi no hay relación lineal; cerca de 1 o −1, la relación es fuerte. Elevado al cuadrado, r² dice qué parte de la variación de la nota explica la recta.

Qué necesitamos

• Un navegador (Chrome o Edge).
• La página del chisme 98, con la tabla de alumnos y los deslizadores.
• Lápiz y papel, si quieres repetir el cálculo sin ordenador.

Ningún sensor ni placa. Lo importante es la matemática.

Construcción

Aquí no construimos un aparato, construimos el cálculo. El proceso, en la página, es este:

1. Generamos los 40 alumnos con datos reproducibles (la misma semilla siempre da los mismos números).
2. Calculamos las dos medias.
3. Calculamos Sxy y Sxx con un bucle que recorre los 40 alumnos.
4. Obtenemos la pendiente, la ordenada y r.
5. Dibujamos la recta sobre la nube de puntos.

El corazón del cálculo es esta función, que puedes leer en la página:

function regresion(xs,ys){
  const n=xs.length;
  const mx=xs.reduce((a,b)=>a+b,0)/n, my=ys.reduce((a,b)=>a+b,0)/n;
  let sxy=0,sxx=0,syy=0;
  for(let i=0;i<n;i++){const dx=xs[i]-mx,dy=ys[i]-my;sxy+=dx*dy;sxx+=dx*dx;syy+=dy*dy;}
  const b=sxy/sxx, a=my-b*mx, r=sxy/Math.sqrt(sxx*syy);
  return {mx,my,b,a,r,n};
}

Cómo probarlo

1. Abre el simulador y mira la nube de puntos. ¿Sube hacia la derecha?
2. Mueve la pendiente y la ordenada con los deslizadores e intenta que la recta naranja pase lo más cerca posible de los puntos.
3. Pulsa Mostrar la recta de mínimos. Compara tu error típico con el de la recta calculada.
4. Mueve el deslizador de horas y predice la nota de un alumno que estudie 20 horas.

Si tu recta tiene un error mayor que la de mínimos, ya tienes la idea: la recta de mínimos es la que hace mínimo ese error.

Qué estamos midiendo realmente

La pendiente, b, mide la asociación entre horas y nota en estos 40 alumnos. No demuestra que estudiar cause la nota: puede haber otros factores, como el nivel de partida de cada alumno.

Los datos son simulados a partir de una tabla de medias de un estudio real (Spitzer, 2022). Para construirlos, la variación total de la nota se reparte en dos partes: la que explica el tiempo de estudio y el ruido que queda. Si el efecto por hora es b₀ y la desviación del rendimiento es σ, el ruido necesario es √(σ² − (b₀·σ_horas)²). Es una identidad de la varianza: lo que no explican las horas tiene que venir de otro sitio.

Dos cosas que conviene recordar:

• Con 40 alumnos, la pendiente tiene incertidumbre. Otra muestra daría otra pendiente, y eso es normal.
• Un error típico de 2 o 3 puntos significa que la recta acierta la media, pero cada alumno puede alejarse mucho de ella.

Para el aula

• ¿Qué variable es la explicativa (x) y cuál la explicada (y)? ¿Cambiaría la recta si las intercambiáramos?
• Calcula la media de las horas y la de las notas con 10 alumnos a mano. ¿Pasa la recta por ese punto?
• ¿Qué pasa con r si añadimos 10 alumnos que no estudian y sacan un 10? Predice antes de calcular.
• Compara dos grupos de 40 alumnos. ¿Tienen la misma pendiente? ¿Qué diferencia hay entre «parecen iguales» y «son iguales»?
• Si el nivel de partida empuja a la vez las horas y la nota, ¿qué pasa con la pendiente? ¿Podemos medirlo?

Retos

1. Haz que funcione. Calcula la recta con los datos de la página y comprueba que coincide con el simulador.
2. Modifica algo. Cambia la semilla del generador y observa cómo cambia la recta.
3. Mide el error. Añade el cálculo del error típico y compara dos rectas distintas.
4. Guarda los datos. Exporta los 40 alumnos en un archivo CSV y repite el cálculo en una hoja de cálculo.
5. Representa los datos. Dibuja los residuos (la distancia de cada punto a la recta). ¿Hay un patrón?
6. Predice con cuidado. ¿Hasta cuántas horas tiene sentido extrapolar?

Qué hemos aprendido

La recta de regresión no es magia: es una fórmula sencilla que busca la recta con el menor error al cuadrado. Su pendiente mide una asociación, no una causa. Y una predicción es siempre un promedio, con su margen de error.

Calcular una recta a mano enseña algo que no se ve con un botón: de dónde sale cada número y qué significa.

Para seguir investigando

• Si quieres ver cómo un modelo aprende de ejemplos, mira la neurona artificial, que aprende a separar dos clases en lugar de predecir un número.
• Para clasificar en lugar de predecir, el árbol de decisión del chisme 44 muestra otro método de aprendizaje a partir de datos.
• Concepto general: Regresión lineal (Wikipedia).
• Fuente de los datos: Spitzer, M. W. H. (2022). Just do it! Study time increases mathematical achievement scores for grade 4–10 students in a large longitudinal cross-country study. European Journal of Psychology of Education, 37, 39–53. doi.org/10.1007/s10212-021-00546-0.