Integración por partes

La integración por partes…

¡Claro! La integral indefinida de ex⋅xex⋅x con respecto a xx es un poco más complicada, requiere integración por partes. Utilizando la fórmula de integración por partes ∫u dv=uv−∫v du∫udv=uv−∫vdu, donde:

u=xu=x y dv=ex dxdv=exdx

Entonces, derivamos uu para obtener dudu y encontramos vv integrando dvdv:

du=dxdu=dx

v=∫ex dx=exv=∫exdx=ex

Aplicando la fórmula de integración por partes:

∫ex⋅x dx=x⋅ex−∫ex dx∫ex⋅xdx=x⋅ex−∫exdx

La integral definida de exex es simplemente exex, por lo que:

∫ex⋅x dx=x⋅ex−ex+C∫ex⋅xdx=x⋅ex−ex+C

Donde CC es la constante de integración.ç

La integral de e elevado a x por x se puede calcular de dos formas:

1. Por integración inmediata

La integral de e elevado a x es e elevado a x, por lo que la integral de e elevado a x por x es:

∫ e^x * x dx = e^x * x + C

donde C es una constante arbitraria de integración.

2. Por integración por partes

En este caso, tomamos u = x y dv = e^x dx. Entonces, du = dx y v = e^x.

∫ u * dv = u * v - ∫ v * du

∫ e^x * x dx = x * e^x - ∫ e^x * dx

= x * e^x - e^x + C

En ambos casos, la integral de e elevado a x por x es:

∫ e^x * x dx = x * e^x - e^x + C

Ejemplo:

∫ (2x^3) * e^x dx = 2x^3 * e^x - e^x + C

= 2x^3e^x - e^x + C