Tema 3: Aplicación de las derivadas

Las derivadas son de gran utilidad, ya que tienen una gran cantidad de usos como:

Pendiente

La derivada de una función en un punto de abscisas corresponde con la pendiente de la función en ese punto.

Puntos singulares y monotonía

Si igualamos a 0 la derivada de la función (f'(x)=0) y despejamos x, los valores obtenidos serán puntos singulares/críticos y candidatos a máximos o mínimos.

Para comprobar la monotonía, calculamos la derivada en un valor a la izquierda y a la derecha del punto singular. Si f'(a)>0 la función crecerá en el intervalo entre el punto singular y el infinito (en el caso que esté definida en todo R) o el valor en el que no esté definida.

Si deja de crecer para decrecer o viceversa y es continua y derivable en ese intervalo, podemos asegurar que existirá un extremo (máximo o mínimo).

Curvatura y puntos de inflexión

Si calculamos la segunda derivada y la igualamos a 0, los resultados serán puntos de inflexión, es decir, el punto donde una función deja de ser convexa para ser cóncava o viceversa.

Para ver si es convexa o cóncava en un intervalo, tomamos valores entre el punto de inflexión y los puntos donde la función no está definida o el infinito si no tiene, y realizamos la segunda derivada en ese punto.

Si el valor es positivo, la función sera convexa, y si es negativo, cóncava.