ESTADÍSTICA UD02: Estimación – Intervalos de confianza, parte 1
Estimadores Puntuales. Parámetros de una población y estadísticos obtenidos a partir de una muestra
Es usual querer obtener información de la población a partir de la información suministrada por la muestra. Hay varios procesos a seguir: estimación puntual o por intervalos de parámetros, contraste de hipótesis…
Si se desea conocer la media de una población, se selecciona, de forma aleatoria, una muestra. En ella, calculamos la media, y el valor es denominado estimador o estimador puntual; al hecho de haberlo hecho se le denomina estimación puntual.
Todo parámetro poblacional, media, desviación típica, varianza… tiene un estadístico paralelo en la muestra.
Un estimador es insesgado, o centrado, cuando su media coincide con el valor del parámetro que se estudia. La media muestral y proporción muestral son ejemplos de ello. Si no lo es, el error cometido es denominado sesgo.
Un estimador es eficiente si su varianza es mínima. Para medir la eficiencia se usa la inversa de la varianza (en caso de hablar de un estimador centrado).
Os dejamos un video en el que podéis entender mejor esto:
Intervalos de confianza
Se desea, a partir de una muestra de tamaño n, estimar el valor de un parámetro de la población; se da un intervalo en el que confiamos que esté dicho parámetro. El intarvelo es llamado intervalo de confianza, la probabilidad de que eso ocurra es denominada nivel de confianza.
El método usado, para hallar dicho parámetro, es conocido como método del estadístico pivote. Pasos:
- Elegir un estadístico t(X) que cumpla:
- Su expresión depende del parámetro θ que se quiere estimar.
- Su distribución de probabilidad debe ser conocida, debe ser independiente del valor de θ.
- Se tiene en cuenta un determinado nivel de confianza, γ, utilizando la distribución de probabilidad de t(X;θ) se calculan los valores k1 y k2, valores críticos.
Conceptos
- Intervalo de confianza: Si P(a<X<b) = 0’95 ; intervalo de confianza (a, b).
- Nivel de confianza o coeficiente de confianza: 1-α = γ, en este caso: 0’95.
- Nivel de significación o de riesgo: α, en este caso: 0’05.
- Valor crítico: k1 y k2, que dejan a la derecha (o a la izquierda) un área α/2.
En la N(0,1) son -1’96 y 1’96 para 0’05.
- Margen de error: Diferencia entre los extremos del intervalo de confianza.
- Máximo error admisible: Valor prefijado que no puede superar el valor absoluto de la diferencia entre el estimador y el parámetro.
Intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica conocida
Se desea construir un intervalo de confianza para estimar la media μ de una población normal en la que la desviación típica, σ, es conocida, la media muestral se utiliza como estimador.
La media muestral sigue una distribución normal. Si la población de partida es normal, el tamaño es lo suficientemente grande: n ≥ 30.
Para obtener un intervalo de confianza con un nivel de confianza, buscamos dos valores que dividan el área bajo la curva normal en tres zonas, de áreas α/2, 1-α y α/2.
Esta imagen ilustra la localización de los valores:
Ya que el estadístico depende del parámetro μ que se va a estimar y que su distribución de probabilidad normal tipificada es conocida y es independiente de μ . Siendo dado un nivel de confianza, 1-α = γ, se buscan los valores Z1-α/2 y Z2-α/2 que verifiquen:
Despejamos la media poblacional; obteniendo el intervalo de confianza:
Obtenidos la media muestral, un nivel de confianza y el intervalo de confianza. La media poblacional, puede pertenecer, o no, a dicho intervalo. Obtenemos la media poblacional al (1-α)*100% :
Os dejamos algunos ejercicios para practicar.
